Nature de la formation :
Diplôme national

Crédits ECTS :
120

Langue(s) d'enseignement :
Français

Modalité(s) de la formation :

Formation continue

Lieu(x) de la formation :
AUBIERE

Pièce(s) jointe(s) à télécharger :
Télécharger la plaquette de la formation

Présentation

Objectifs de la formation

Ce master a pour but d’offrir une formation de haut niveau en mathématiques pures et en mathématiques appliquées.

 

La formation dispensée au sein du Master mention Mathématiques ouvre naturellement les portes d’un doctorat en mathématiques pures ou appliquées et permet la préparation de l’agrégation de mathématiques.

 

Elle contient de plus plusieurs cours mutualisés avec les écoles d’Ingénieurs PolyTech Clermont et ISIMA, ce qui permet aux élèves ingénieurs de compléter leur formation et aux étudiants universitaires d’aborder certains aspects des applications des mathématiques. Un débouché supplémentaire est ainsi de travailler au sein d'un service de recherche et développement d’une entreprise.

 

A l’issue de la formation, les étudiants savent résoudre un problème mathématique complexe en s’appuyant sur les outils spécifiques, sur des méthodes et théories acquises au cours de la formation.

Organisation de la formation

La formation est structurée sur deux années complémentaires. La première vise à établir un socle de connaissances commun à tous les étudiants désireux de poursuivre vers des débouchés utilisant les mathématiques. Une unité d'enseignement de cette première année permet néanmoins d'avoir un premier contact avec les métiers envisagés.

Grâce à des choix d'options, les étudiants en seconde année du master de Mathématiques peuvent s'orienter plus précisément vers les métiers de l'enseignement, de l'industrie ou vers les métiers de la recherche.

Les + de la formation

- La possibilité de préparer l'agrégation de Mathématiques avec de nombreuses heures dédiées à cette formation.

- La reconnaissance du Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal au niveau national est un atout majeur pour la dynamique de ce Master, des possibilités de poursuite en doctorat (à Clermont-Ferrand ou dans d'autre Universités) sont multiples.

Competences et connaissances

La démarche compétence est prise en compte tout au long de la formation à travers de nombreuses mises en situation. On peut citer, entre autres,

  • les différentes possibilités d'initiation à la recherche permettant d'acquérir des compétences liées à  l'environnement du monde de la recherche, ou bien
  • le sujet de TER dont des références bibliographiques seront obligatoirement en anglais, apportant ainsi une compétence à la fois linguistique et scientifique, ou bien encore
  • l'Unité d'Enseignement "découverte de l'enseignement" optionnelle pour les étudiants désirant observer les conditions d'enseignement dans des lycées avant de préparer le concours de l'agrégation.

Stage

Plusieurs unités d'enseignement sont dédiées à des apprentissages sous forme de projet.

  • Ainsi, la première année comprend un TER qui consiste en une étude bibliographique visant à élaborer une synthèse personnelle. Le sujet est proposé par un enseignant-chercheur du laboratoire. Cette activité se termine par la rédaction d’un rapport écrit et d'une soutenance orale.

    Pendant cette première année, une possibilité est aussi offerte aux étudiants souhaitant s'orienter vers la préparation au concours de l'agrégation de suivre un stage plus adaptée aux valeurs de l'enseignement (stage de plusieurs demi-journées dans des lycées du bassin clermontois).

  • En seconde année, chaque étudiant effectue un stage plus conséquent, généralement au laboratoire, sous la direction d'un enseignant-chercheur, mais parfois dans des institutions privées telles que Michelin ou CEREMA. A nouveau ce stage est comporte la rédaction d'un rapport et une soutenance orale. Le stage se veut une initiation à la recherche en mathématique et consiste en la lecture approfondie puis la synthèse de travaux (articles de revues, rapports, mémoires) portant sur un sujet précis.  Lorsque le sujet porte une thématique appliquée relevant par exemple de l'analyse numérique, le stage peut consister en partie en l'implémentation numérique d'un algorithme.

    Ces stages de formation par et pour la recherche ont pour objectif de familiariser les étudiants avec les méthodes de travail en milieu universitaire notamment le travail en équipe sous la direction d'un mathématicien expérimenté,  la recherche bibliographique ainsi que la confrontation d'idée.

Programme

Année M1

  • Semestre 1

    • Intégration, probabilités et analyse de Fourier

      Nombre d'heures : 36h CM, 36h TD | 9 crédits

      • Notion de tribu, de fonction mesurable, de variable aléatoire, de loi d’une variable aléatoire 

      • Construction d’une mesure par prolongement : le cas de la mesure de Lebesgue ;

      • Intégrales par rapport à une mesure. Espérance. Construction de mesures à densité

      • Théorèmes de convergence dominée de Lebesgue et de convergence croissante de Beppo-Levi. Dérivabilité sous l’intégrale

      • Inégalité de Hölder et Minkowski ; espaces L^p. Moments d’une variable aléatoire

      • Théorème de représentation de Riesz et de Radon-Nikodym

      • Mesure produit ; théorème de Fubini. Construction de v.a. indépendantes

      • Convolution des fonctions. Convolution des mesures. Interprétation en probabilités

      • Convergence presque sûre d’une suite de v.a. Loi des grands nombres. Théorème de Glivenko-Cantelli

      • Transformation de Fourier des fonctions et des mesures. Inversion

      • Convergence étroite d’une suite de mesure. Convergence en loi d’une suite de v.a. Compacité par la tension. Théorème de Paul Lévy 

      • Espérance conditionnelle. Lois conditionnelles. Notion de martingale

      • Lois gaussiennes multidimensionnelles. Théorème central limite vectoriel. Test du chi-deux

    • Algèbre 1

      Nombre d'heures : 36h CM, 36h TD | 9 crédits

      • Partie I : Groupes

        • Rappels et compléments sur les groupes (parties génératrices) 

        • Groupes finis abéliens. Dual d’un groupe, classification des groupes finis abéliens : tout groupe fini abélien est isomorphe à un produit de groupes cycliques

        • Groupes opérant sur un ensemble. Application aux p-groupes, théorèmes de Sylow. Produit semi-direct. Applications à des résultats de classification des groupes fini de petit cardinal

        • Groupes symétriques et alternés. Rappels. Famille de générateurs. Simplicité des groupes alternés

        • Groupes résolubles

      • Partie II : Arithmétique dans les anneaux

        • Rappels et compléments sur les anneaux (théorème de Krull, théorème chinois dans les anneaux)

        • Divisibilité, éléments irréductibles, notion de PGCD et PPCM dans les anneaux intègres. Anneaux factoriels, principaux, euclidiens. Théorème de Gauss : A factoriel implique A[X] factoriel

        • Irréductibilité des polynômes : critères classiques (Eisenstein, réduction)

        • Polynômes symétriques : théorème fondamental et applications

    • Calcul des Probabilités

      Nombre d'heures : 12h CM, 12h TD | 3 crédits

      • Variables aléatoires discrètes et générales 

      • Espérance et retour sur l'intégrale de Lebesgue

      • Vecteurs aléatoires

      • Convergences et loi des Grands Nombres

      • Fonctions caractéristiques, vecteurs gaussiens et théorème Central Limite

    • Topologie

      Nombre d'heures : 24h CM, 24h TD | 6 crédits

      • Distances et normes

      • Topologie des espaces métriques (ouvert, fermé, intérieur, adhérence,.…)

      • Applications continues, applications linéaires continues

      • Espaces métriques compacts (propriétés de Borel-Lebesgue et de Bolzano-Weierstrass, théorème de Heine, retour sur les espaces vectoriels normés de dimension finie, équicontinuité)

      • Espaces complets (suites de Cauchy, théorème du point fixe, exemples d'espaces de Banach…)

      • Espaces connexes

    • Anglais

      24h TD | 3 crédits

  • Semestre 2

    • Théorie des corps et algèbre bilinéaire

      Nombre d'heures : 24h CM, 24h TD | 6 crédits

      • Partie I : Théorie des corps

        • Extensions de corps. Corps de rupture, corps de décomposition, clôture algébrique. Corps finis

        • Théorie de Galois des extensions finies. Polynômes cyclotomiques et corps cyclotomiques

        • Applications à la résolubilité des équations polynomiales et à la géométrie (constructions à la règle et au compas)

      • Partie II : algèbre bilinéaire

        • Généralités sur les formes bilinéaires : lien avec la dualité, matrice représentative, problème de classification, rang, discriminant

        • Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques : orthogonalité, existence de bases orthogonales, classification dans le cas algébriquement clos, le cas réel (loi d’inertie de Sylvester et signature), le cas des corps finis (en caractéristique différente de 2)

        • Méthode de réduction de Gauss dans le cas réel

    • Analyse fonctionnelle

      Nombre d'heures : 24h CM, 24h TD | 6 crédits

      • Espaces de Hilbert (projection sur un convexe fermé, bases hilbertiennes, adjoint,…)

      • Dualité (théorèmes de Hahn-Banach, topologie faible)

      • Théorème de Baire et applications (Banach-Steinhaus, graphe fermé, application ouverte)

      • Exemples d'espaces fonctionnels (retour sur les espaces L^p, espace de Schwartz, espaces de Sobolev...)

    • Calcul différentiel

      Nombre d'heures : 24h CM, 24h TD | 6 crédits

      • Partie I : Fonctions différentiables

        • Applications différentiables sur un ouvert de R^n. Différentielle (application linéaire tangente)

        • Différentielle de la fonction déterminant. Dérivée selon un vecteur. Rappel : dérivées partielles

        • Opérations algébriques sur les applications différentiables. Composition d’applications

        • différentiables. Théorème des accroissements finis

        • Applications de classe C^1. Matrice jacobienne. Applications de classe C^k. Dérivées partielles

        • d’ordre k. Interversion de l’ordre des dérivations

        • Formule de Taylor avec reste intégral, formule de Taylor-Young. Étude locale des applications à valeurs dans R. Développements limités. Recherche des extrema locaux

        • Difféomorphismes. Théorème d’inversion locale. Théorème des fonctions implicites. Partie II :Sous variétés de R^n

      • Partie II :Sous variétés de R^n

        • Définitions équivalentes : graphe local, paramétrisation locale, équation locale

        • Espace tangent. Exemple : O(n) comme sous-variété de GL(n;R). Champ de vecteurs tangent à une sous-variété

        • Notions métriques : longueur d’un arc, paramétrisation normale, courbure d’un arc en dimensions 2 et 3. Gradient. Tracé de courbes usuelles

        • Surfaces dans R^3 : position par rapport au plan tangent

        • Extrema locaux d’une fonction définie sur une sous-variété (extrema liés), multiplicateurs de Lagrange

    • Équations différentielles

      Nombre d'heures : 10h CM, 8h TD, 6h TP | 3 crédits

      • Équations différentielles de la forme y'=f(t,y), problème de Cauchy, lemme de Gronwall, théorème de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales, théorème d’explosion; dépendance par rapport aux conditions initiales, par rapport à un paramètre 

      • Aspects numériques du problème de Cauchy : mise en œuvre des méthodes d’Euler, utilisation de méthode de type Runge-Kutta. Notion d’ordre de convergence. Illustration numérique de courbes de convergence

    • TER

      6 crédits

    1 option(s) au choix parmi 2

    • Découverte des métiers de l’enseignement

      Nombre d'heures : 24h TD | 3 crédits

      • Présence d’une semaine avec un enseignant en lycée – convention avec le rectorat

    • Séminaire étudiants

      24h TD | 3 crédits

Année M2

  • Semestre 3

    • Anglais

      24h TD | 3 crédits

    1 option(s) au choix parmi 2

    • Cours introductif à la recherche 1

      Nombre d'heures : 25h CM, 25h TD | 9 crédits

      • Plusieurs thèmes sont proposés en début du semestre. Les étudiants approfondissent le thème de leur choix

    • Préparation à l'agrégation 1

      Nombre d'heures : 35h CM, 35h TD | 9 crédits

      • Partie I : Algèbre et analyse

        26h CM, 26h TD

        • Préparation aux épreuves écrites de l'agrégation

        • Début de la préparation aux épreuves orales d'algèbre et d'analyse

      • Partie II : modélisation (par séances de 3h sur ordinateurs)

        9h CM, 9h TD

        • Préparation à l'épreuve oral de modélisation, option B

    3 option(s) au choix parmi 5

    • Compléments d'analyse

      Nombre d'heures : 20h CM, 24h TD | 6 crédits

      • Transformée de Fourier (Espace de Schwartz, distributions tempérées, solution fondamentale du Laplacien, transformées de Fourier dans S, S’, L² et L¹)

      • Compléments d'analyse complexes (Retour sur le théorème des résidus, fonctions méromorphes, suites et séries des fonctions holomorphes, produits infinis, théorème de Montel, déterminations du logarithme)

      • Théorie spectrale des opérateurs compacts (Opérateurs bornés, notion d’adjoint, spectre, opérateurs compacts, Fredholm)

    • Algèbre 2

      Nombre d'heures : 20h CM, 24h TD | 6 crédits

      • Espaces hermitiens, groupes unitaires, théorème spectral complexe 

      • Notion de module sur un anneau commutatif, d’algèbre sur un anneau commutatif. Modules libres, matrices à coefficients dans un anneau commutatif, déterminant. Modules sur un anneau principal et application à la réduction des endomorphismes

      • Représentations linéaires complexes d’un groupe fini. Irréductibilité, théorème de Maschke, caractères, table des caractères. Exemples de représentations de groupes de petit cardinal

    • Modélisation

      Nombre d'heures : 20h CM, 24h TD | 6 crédits

      • Notions élémentaires sur les équations aux dérivées partielles classiques

      • Équation de transport : méthode des caractéristiques

      • Équations des ondes et de la chaleur : résolution par transformée de Fourier et séparation des variables

      • Équations elliptiques

      • Exemples de discrétisation de problèmes aux limites en dimension un par la méthode des différences finies : notions de consistance, stabilité, convergence, ordre

    • Analyse numérique (Polytech ou ISIMA)

      25h CM, 25h TD | 6 crédits

    • Mathématiques appliquées (Polytech ou ISIMA)

      25h CM, 25h TD | 6 crédits

  • Semestre 4

    • Stage

      12 crédits

    2 option(s) au choix parmi 4

    • Cours introductif à la recherche 2

      Nombre d'heures : 25h CM, 25h TD | 9 crédits

      • Plusieurs thèmes sont proposés en début du semestre. Les étudiants approfondissent le thème de leur choix

    • Cours de lecture

      Nombre d'heures : 40h TD | 9 crédits

      • Approfondissement bibliographique sur un thème

    • Préparation à l'agrégation 2

      30h CM, 50h TD | 9 crédits

    • Préparation aux épreuves orales de l'agrégation

      Nombre d'heures : 30h CM, 50h TD | 9 crédits

      • Partie I : Algèbre et analyse

        30h CM, 14h TD

      • Partie II : modélisation (par séances de 3h sur ordinateurs)

        36h TD

        • Préparation à l'épreuve oral de modélisation, option B

Admission

Conditions

 

Candidature en M1 :

Le recrutement se base principalement sur des e?tudiants ayant suivi une licence Mathe?matiques.

Des dossiers d'e?tudiants provenant de l'e?tranger (Chine, Afrique, ...) sont aussi fre?quemment rec?us. Les conditions sont alors de?termine?es par le niveau scientifique, le niveau en franc?ais, et par la motivation de l'e?tudiant.

 

Candidature en M2 :

Le recrutement directement en M2 est aussi possible pour des étudiants ayant suivi une année équivalente au M1 (en école d'ingénieur, dans d'autres universités françaises, ou à l'étranger).

Pré-requis

Cette formation de niveau Master est adaptée aux étudiants ayant des bonnes connaissances de base en mathématiques (niveau Licence).

Et après ?

Les métiers visés

Les métiers visés par cette formation sont principalement de trois types : les métiers liés à l'enseignement, ceux liés à la recherche, et ceux lié au monde de l'industrie :

 

  • Professeur agrégé en lycée ou CPGE
  • Maître de conférences ou Chargé de recherches dans un institut public après la préparation d'une thèse de doctorat (en tant qu'allocataire-moniteur)
  • Ingénieur de recherche ou chercheur dans le secteur public ou privé après la préparation d'une thèse de doctorat
  • Ingénieur d'étude, ingénieur mathématicien (éventuellement après insertion dans une école d'ingénieurs)
  • Management et ingénierie études, recherche et développement Industriel

Secteur(s) d'activités

  • Recherche (publique ou privée)
  • Enseignement supérieur, Enseignement secondaire et en CPGE
  • Ingénierie mathématique

Poursuite d'études

Ce Master offre naturellement des possibilités de poursuite en doctorat de Mathématiques. Les dispositifs qui sont mis en place vise justement à accentuer ces possibilités et à diversifier l'offre thématique possible pour répondre aux besoins du Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal.

Le laboratoire comporte 4 équipes sur des thèmes variés : théorie des nombres, géométrie, algèbre, analyse, probabilité, numérique… la maquette de ce Master permet à chaque étudiant de se diriger vers le thème de son choix, et donc à postuler naturellement vers des bourses doctorales adaptées à son projet professionnel.

Les étudiants en seconde année ont aussi la possibilité de candidater sur des études doctorales dans d'autres Universités : le parcours proposé dans ce Master correspond généralement aux autres formations équivalentes proposées dans la plupart des Universités françaises.

Contacts

Responsable(s)

MUNCH Arnaud

Email : Arnaud.MUNCH @ uca.fr

Contact(s) administratif(s)

Scola.Master.Pac@uca.fr