Master Mathématiques

Semestre 1

• Intégration, probabilités et analyse de Fourier

  Nombre d'heures : 36h CM, 36h TD | 9 crédits

  • Notion de tribu, de fonction mesurable, de variable aléatoire, de loi d’une variable aléatoire 

  • Construction d’une mesure par prolongement : le cas de la mesure de Lebesgue ;

  • Intégrales par rapport à une mesure. Espérance. Construction de mesures à densité

  • Théorèmes de convergence dominée de Lebesgue et de convergence croissante de Beppo-Levi. Dérivabilité sous l’intégrale

  • Inégalité de Hölder et Minkowski ; espaces L^p. Moments d’une variable aléatoire

  • Théorème de représentation de Riesz et de Radon-Nikodym

  • Mesure produit ; théorème de Fubini. Construction de v.a. indépendantes

  • Convolution des fonctions. Convolution des mesures. Interprétation en probabilités

  • Convergence presque sûre d’une suite de v.a. Loi des grands nombres. Théorème de Glivenko-Cantelli

  • Transformation de Fourier des fonctions et des mesures. Inversion

  • Convergence étroite d’une suite de mesure. Convergence en loi d’une suite de v.a. Compacité par la tension. Théorème de Paul Lévy 

  • Espérance conditionnelle. Lois conditionnelles. Notion de martingale

  • Lois gaussiennes multidimensionnelles. Théorème central limite vectoriel. Test du chi-deux

• Algèbre 1

  Nombre d'heures : 36h CM, 36h TD | 9 crédits

  • Partie I : Groupes
    • Rappels et compléments sur les groupes (parties génératrices) 

    • Groupes finis abéliens. Dual d’un groupe, classification des groupes finis abéliens : tout groupe fini abélien est isomorphe à un produit de groupes cycliques

    • Groupes opérant sur un ensemble. Application aux p-groupes, théorèmes de Sylow. Produit semi-direct. Applications à des résultats de classification des groupes fini de petit cardinal

    • Groupes symétriques et alternés. Rappels. Famille de générateurs. Simplicité des groupes alternés

    • Groupes résolubles

  • Partie II : Arithmétique dans les anneaux
    • Rappels et compléments sur les anneaux (théorème de Krull, théorème chinois dans les anneaux)

    • Divisibilité, éléments irréductibles, notion de PGCD et PPCM dans les anneaux intègres. Anneaux factoriels, principaux, euclidiens. Théorème de Gauss : A factoriel implique A[X] factoriel

    • Irréductibilité des polynômes : critères classiques (Eisenstein, réduction)

    • Polynômes symétriques : théorème fondamental et applications

• Calcul des Probabilités

  Nombre d'heures : 12h CM, 12h TD | 3 crédits

  • Variables aléatoires discrètes et générales 

  • Espérance et retour sur l'intégrale de Lebesgue

  • Vecteurs aléatoires

  • Convergences et loi des Grands Nombres

  • Fonctions caractéristiques, vecteurs gaussiens et théorème Central Limite

• Topologie

  Nombre d'heures : 24h CM, 24h TD | 6 crédits

  • Distances et normes

  • Topologie des espaces métriques (ouvert, fermé, intérieur, adhérence,.…)

  • Applications continues, applications linéaires continues

  • Espaces métriques compacts (propriétés de Borel-Lebesgue et de Bolzano-Weierstrass, théorème de Heine, retour sur les espaces vectoriels normés de dimension finie, équicontinuité)

  • Espaces complets (suites de Cauchy, théorème du point fixe, exemples d'espaces de Banach…)

  • Espaces connexes

• -Anglais

  20h TD | 3 crédits

Semestre 2

• Théorie des corps et algèbre bilinéaire

  Nombre d'heures : 24h CM, 24h TD | 6 crédits

  • Partie I : Théorie des corps
    • Extensions de corps. Corps de rupture, corps de décomposition, clôture algébrique. Corps finis

    • Théorie de Galois des extensions finies. Polynômes cyclotomiques et corps cyclotomiques

    • Applications à la résolubilité des équations polynomiales et à la géométrie (constructions à la règle et au compas)

  • Partie II : algèbre bilinéaire
    • Généralités sur les formes bilinéaires : lien avec la dualité, matrice représentative, problème de classification, rang, discriminant

    • Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques : orthogonalité, existence de bases orthogonales, classification dans le cas algébriquement clos, le cas réel (loi d’inertie de Sylvester et signature), le cas des corps finis (en caractéristique différente de 2)

    • Méthode de réduction de Gauss dans le cas réel

• Analyse fonctionnelle

  Nombre d'heures : 24h CM, 24h TD | 6 crédits

  • Espaces de Hilbert (projection sur un convexe fermé, bases hilbertiennes, adjoint,…)

  • Dualité (théorèmes de Hahn-Banach, topologie faible)

  • Théorème de Baire et applications (Banach-Steinhaus, graphe fermé, application ouverte)

  • Exemples d'espaces fonctionnels (retour sur les espaces L^p, espace de Schwartz, espaces de Sobolev...)

• Calcul différentiel

  Nombre d'heures : 24h CM, 24h TD | 6 crédits

  • Partie I : Fonctions différentiables
    • Applications différentiables sur un ouvert de R^n. Différentielle (application linéaire tangente)

    • Différentielle de la fonction déterminant. Dérivée selon un vecteur. Rappel : dérivées partielles

    • Opérations algébriques sur les applications différentiables. Composition d’applications

    • différentiables. Théorème des accroissements finis

    • Applications de classe C^1. Matrice jacobienne. Applications de classe C^k. Dérivées partielles

    • d’ordre k. Interversion de l’ordre des dérivations

    • Formule de Taylor avec reste intégral, formule de Taylor-Young. Étude locale des applications à valeurs dans R. Développements limités. Recherche des extrema locaux

    • Difféomorphismes. Théorème d’inversion locale. Théorème des fonctions implicites. Partie II :Sous variétés de R^n

  • Partie II :Sous variétés de R^n
    • Définitions équivalentes : graphe local, paramétrisation locale, équation locale

    • Espace tangent. Exemple : O(n) comme sous-variété de GL(n;R). Champ de vecteurs tangent à une sous-variété

    • Notions métriques : longueur d’un arc, paramétrisation normale, courbure d’un arc en dimensions 2 et 3. Gradient. Tracé de courbes usuelles

    • Surfaces dans R^3 : position par rapport au plan tangent

    • Extrema locaux d’une fonction définie sur une sous-variété (extrema liés), multiplicateurs de Lagrange

• Équations différentielles

  Nombre d'heures : 10h CM, 8h TD, 6h TP | 3 crédits

  • Équations différentielles de la forme y'=f(t,y), problème de Cauchy, lemme de Gronwall, théorème de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales, théorème d’explosion; dépendance par rapport aux conditions initiales, par rapport à un paramètre 

  • Aspects numériques du problème de Cauchy : mise en œuvre des méthodes d’Euler, utilisation de méthode de type Runge-Kutta. Notion d’ordre de convergence. Illustration numérique de courbes de convergence

• -TER

  6 crédits

1 option(s) au choix parmi 2

• Découverte des métiers de l’enseignement

  Nombre d'heures : 24h TD | 3 crédits

  • Présence d’une semaine avec un enseignant en lycée – convention avec le rectorat

• -Séminaire étudiants

  24h TD | 3 crédits

Semestre 3

• -Anglais

  20h TD | 3 crédits

1 option(s) au choix parmi 2

• Cours introductif à la recherche 1

  Nombre d'heures : 25h CM, 25h TD | 9 crédits

  • Plusieurs thèmes sont proposés en début du semestre. Les étudiants approfondissent le thème de leur choix

• Préparation à l'agrégation 1

  Nombre d'heures : 35h CM, 35h TD | 9 crédits

  • Partie I : Algèbre et analyse

    26h CM, 26h TD

    • Préparation aux épreuves écrites de l'agrégation

    • Début de la préparation aux épreuves orales d'algèbre et d'analyse

  • Partie II : modélisation (par séances de 3h sur ordinateurs)

    9h CM, 9h TD

    • Préparation à l'épreuve oral de modélisation, option B

3 option(s) au choix parmi 5

• Compléments d'analyse

  Nombre d'heures : 20h CM, 24h TD | 6 crédits

  • Transformée de Fourier (Espace de Schwartz, distributions tempérées, solution fondamentale du Laplacien, transformées de Fourier dans S, S’, L² et L¹)

  • Compléments d'analyse complexes (Retour sur le théorème des résidus, fonctions méromorphes, suites et séries des fonctions holomorphes, produits infinis, théorème de Montel, déterminations du logarithme)

  • Théorie spectrale des opérateurs compacts (Opérateurs bornés, notion d’adjoint, spectre, opérateurs compacts, Fredholm)

• Algèbre 2

  Nombre d'heures : 20h CM, 24h TD | 6 crédits

  • Espaces hermitiens, groupes unitaires, théorème spectral complexe 

  • Notion de module sur un anneau commutatif, d’algèbre sur un anneau commutatif. Modules libres, matrices à coefficients dans un anneau commutatif, déterminant. Modules sur un anneau principal et application à la réduction des endomorphismes

  • Représentations linéaires complexes d’un groupe fini. Irréductibilité, théorème de Maschke, caractères, table des caractères. Exemples de représentations de groupes de petit cardinal

• Modélisation

  Nombre d'heures : 20h CM, 24h TD | 6 crédits

  • Notions élémentaires sur les équations aux dérivées partielles classiques

  • Équation de transport : méthode des caractéristiques

  • Équations des ondes et de la chaleur : résolution par transformée de Fourier et séparation des variables

  • Équations elliptiques

  • Exemples de discrétisation de problèmes aux limites en dimension un par la méthode des différences finies : notions de consistance, stabilité, convergence, ordre

• -Analyse numérique (Polytech ou ISIMA)

  25h CM, 25h TD | 6 crédits

• -Mathématiques appliquées (Polytech ou ISIMA)

  25h CM, 25h TD | 6 crédits

Semestre 4

• -Stage

  12 crédits

2 option(s) au choix parmi 4

• Cours introductif à la recherche 2

  Nombre d'heures : 25h CM, 25h TD | 9 crédits

  • Plusieurs thèmes sont proposés en début du semestre. Les étudiants approfondissent le thème de leur choix

• Cours de lecture

  Nombre d'heures : 40h TD | 9 crédits

  • Approfondissement bibliographique sur un thème

• -Préparation à l'agrégation 2

  30h CM, 50h TD | 9 crédits

• Préparation aux épreuves orales de l'agrégation

  Nombre d'heures : 30h CM, 50h TD | 9 crédits

  • Partie I : Algèbre et analyse

    30h CM, 14h TD

  • Partie II : modélisation (par séances de 3h sur ordinateurs)

    36h TD

    • Préparation à l'épreuve oral de modélisation, option B